In this paper, we use the averaging method to find an approximate solution for the optimal control of non-linear differential inclusions with fast-oscillating coefficients on a finite time interval.

Дослiджується якiсна поведiнка розв’язкiв нескiнченновимiрного еволюцiйного включення параболiчного типу з лiпшицевою багатозначною правою частиною за наявностi неавтономних збурень \(d(t)\) на границi просторової областi. У незбуреному випадку \((d \equiv 0)\) така задача у фазовому просторi \(L^2\) породжує багатозначну дисипативну напiвгрупу, що має нетривiальну компактну рiвномiрно-притягуючу множину - глобальний атрактор. Дослiджується стiйкiсть такого атрактору щодо збурень \(d(t)\) шляхом одержання робастної оцiнки типу ISS, яка характеризує вiдхилення траекторiй збуреної системи вiд атрактора. Данi дослiдження є продовженням результатiв роботи [1], де була встановленя асимптотична оцiнка типу AG. Зараз за рахунок умови Лiпшиця одержується бiльш точна оцiнка типу ISS.

В роботі розглядається задача вивчення асимптотичної поведінки розв'язків параболічного включення з многозначною напівнеперервною зверху функцією взаємодії за наявності неавтономних обмежених збурень в правій частині та в крайових умовах. За відсутності збурень траєкторії цією задачі в фазовому просторі L2 рівномірно по обмеженим початковим даним притягуються з часом до компактної зв'язної інваріантної множини - глобального атрактору. Ми вивчаємо асимптотику збуреної задачі шляхом встановлення робастної оцінки, яка визначає відхилення траєкторій збуреної задачі від глобального атрактору незбуреної задачі через величину збурень. Наявність такої оцінки говорить про стійкість глобального атрактору щодо збурень. Ми використовуємо підхід, що полягає у дослідженні відповідного сімейства неавтономних напівпроцесів, які мають рівномірний атрактор, що залежить від збурень. На основі властивості його напівнеперервності зверху встановлюються умови, що гарантують шукану робастну стійкість атрактору.

У даній статті ми використовуємо метод усереднення, щоб знайти наближений розв'язок для оптимального керування нелінійними диференціальними включеннями з швидкоосцилюючими коефіцієнтами. Дана робота висвітлюює взаємодію між методами усереднення та асимптотичним аналізом, припускаючи, що гібридний підхід може дати надійні стратегії для вирішення складних проблем оптимального керування. Звертаючись як до скінченних інтервалів, так і до необмежених областей, дослідження разом роблять внесок у більш повну структуру для розуміння та застосування методології контролю в нелінійних умовах. Ми використовуємо метод усереднення, щоб знайти наближене рішення для цих задач оптимального керування. Майбутні дослідження можуть отримати вигоду від інтеграції розуміння з обох методологій для подальшого вдосконалення стратегій контролю, що потенційно призведе до покращення результатів у різних галузях інженерії та прикладної математики. Розглядаються задачі оптимального керування диференціальним включенням типу Каратеодорі.