The aim of this paper is to define the generalized discrete proportional derivative (GDPD) and illustrate the application of the Leibniz theorem, the binomial expansion, and Montmort’s formulas in the context of the generalized discrete proportional case. Furthermore, we introduce the generalized discrete proportional Laplace transform and determine the GDPLT of various functions using the inverse operator. The results obtained are showcased through relevant examples and validated using MATLAB.

Cette thèse est divisée en deux grandes parties : la première est consacrée aux propriétés statistiques des systèmes dynamiques et l’autre porte sur des propriétés des systèmes dynamiques topologiques.Dans la première partie, d’abord nous rappelons quelques notions de base des systèmes dynamiques aléatoire et de la théorie des valeurs extrêmes. Ensuite, par l’application de cette théorie aux réseaux des applications couplées nous montrons que la probabilité de l’apparition de la synchronisation dans ces réseaux est liée à la distribution du maximum d’une certaine observable évaluée le long de presque toutes les orbites. De plus, nous montrons qu’une telle distribution appartient à la famille des lois des valeurs extrêmes, où le paramètre de cette distribution (indice extrémal) nous permet d’obtenir une description détaillée de la probabilité de synchronisation. Enfin, nous illustrerons les résultats théoriques par des calculs numériques robustes qui nous permettent d’aller au-delà du cadre théorique fourni.Dans la seconde partie, nous commençons par introduire quelques notions de base des systèmes dynamiques topologiques. Ensuite, nous étudions la relation entre les ensembles des points récurrents et périodiques d’une application continue de dendrites locales dans lui-même dans lequel l’ensemble des points d’extrémité est dénombrable.