The simulation of fusion plasmas in realistic magnetic configurations and tokamak geometries still requires the development of advanced numerical algorithms owing to the complexity of the problem. In this context, we propose a Hybrid Discontinuous Galerkin (HDG) method to solve 2D transport fluid equations in realistic magnetic and tokamak wall geometries. This high-order solver can handle magnetic equilibrium free structured and unstructured meshes allowing a much more accurate discretization of the plasma facing components than current solvers based on magnetic field aligned methods associated with finite-differences (volumes) discretization. In addition, the method allows for handling realistic magnetic equilibrium, eventually non steady, a critical point in the modeling of full discharges including ramp up and ramp down phases. In this paper, we introduce the HDG algorithm with a special focus on recent developments related to the treatment of the cross-field diffusive terms, and to an adaptive mesh refinement technique improving the numerical efficiency and robustness of the scheme. The updated solver is verified with a manufactured solution method, and numerical tests are provided to illustrate the new capabilities of the code.

Adaptabilité spatiale HDG pour la résolution des équations de transport de fluides pour la fusion magnétique dans des configurations de tokamak réalistes: Ce travail consiste à développer des stratégies d'adaptivité h afin d'améliorer les capacités du solveur de fluide SOLEDGE3X-HDG pour simuler les plasmas de fusion de bord dans des dispositifs magnétiques tels qu'ITER. Les expérimentations de fusion futures doivent gérer durablement des températures élevées pour permettre les réactions, et par conséquent des flux de chaleur intense sur les parois des tokamaks. Des conditions opérationnelles difficiles doivent être mises en place sur la machine afin de maintenir la combustion du plasma dans le cœur tout en assurant une répartition suffisante de la puissance sur les composants dédiés des parois. Un plasma dans un tokamak constitue un environnement extrême, dans lequel les mesures sont difficiles. La modélisation numérique a donc un rôle important à jouer dans l'investigation de moyens d'améliorer les scénarios de plasma. Dans ce contexte, le code SOLEDGE3X-HDG résout les équations de transport fluide en 2D dans des géométries magnétiques et de paroi de tokamak précises, en utilisant une méthode de Galerkin Discontinue Hybride (HDG). Ce formalisme, construit dans un cadre d'éléments finis d'ordre élevé, est bien adapté à la résolution des équations de conservation dans la géométrie complexe d'un tokamak. L'avancement temporelle est effectué avec une discrétisation implicite utilisant des itérations Newton-Raphson. Un design inadéquat du maillage peut conduire à des difficultés si le maillage choisi est trop grossier, notamment près de la LCFS ou sur les coins de la paroi avec des valeurs réalistes des diffusivités turbulentes, ou si le maillage est trop raffiné, ce qui conduit à des temps de calcul inacceptables. Cette thèse explore la possibilité d'automatiser le remaillage grâce à l'adaptivité spatiale de type h afin de donner aux utilisateurs un accès plus fiable à des simulations localement raffinées avec des besoins moindres en mémoire et en temps de calcul. Cette investigation est réalisée à l'aide d'un modèle réduit 2D pour la densité ionique et la quantité de mouvement parallèle, qui est représentatif du transport du plasma et de son interaction avec la paroi dans le bord d'un tokamak. Le maillage est optimisé de manière itérative en adaptant la taille des éléments du maillage à l'erreur locale jusqu'à ce qu'un estimateur global de l'erreur atteigne une valeur seuil. Plusieurs estimateurs sont examinés pour caractériser la distribution spatiale de l'erreur et conduire l'optimisation du maillage. L'estimateur d'erreur basé sur la solution numérique conduit à une amélioration de la discrétisation, réduisant le nombre de degrés de liberté tout en conservant une précision suffisante. La stratégie d'adaptation est encore améliorée par l'utilisation d'un indicateur qui identifie les éléments dans lesquels de fortes oscillations sont présentes imposant le raffinement dans ces éléments. La stratégie finale développée repose sur une adaptation du maillage basée sur un estimateur de la norme L2 de l'erreur qui utilise la propriété de super convergence du HDG pour limiter au minimum l'effort d'évaluation de l'estimateur. La prédiction de la taille d'élément requise localement est ensuite déterminée à l'aide d'une extrapolation de Richardson qui permet à la fois d'agrandir les éléments ou de les raffiner. Un indicateur d'oscillation, basé sur la contribution d'ordre plus élevé à la norme locale du nombre de Mach, est utilisé simultanément pour raffiner systématiquement les éléments problématiques. Cette stratégie est testée dans une géométrie réaliste de la section poloïdale d'un tokamak, à la fois sur des calculs statiques des équilibres de transport et sur des calculs instationnaires de la propagation de la perturbation de la densité. On observe que la stratégie d'adaptivité h augmente la robustesse des calculs effectués par SOLEDGE3X-HDG et garantit systématiquement que le nombre d'éléments utilisés est inférieur à celui d'un maillage uniforme requis pour le même calcul