We use the material medium approach to derive the refractive index that can be associated with the gravitational field of a compact object with a quadrupole moment. We consider both a static deformation and a stationary rotation of the gravitational source as the source of the quadrupole. We show that up to the first order in the quadrupole, the refractive indices of both configurations are equivalent such that from the point of view of refraction, a mimicking effect can occur. This also holds at the level of the deflection angle. We argue that it is possible to use the refractive indices and the parameters of the trajectories of light rays that propagate in a gravitational field to determine the physical parameters of the source.

We consider the tidal forces between test particles falling along geodesics in the exterior spacetime generated by a static and axially symmetric compact matter source with a non-vanishing mass quadrupole. Specifically, we analyze the radial and angular geodesic deviation, compare it with that of the Schwarzschild spacetime, and investigate the impact of the deformation parameter q at different polar angles ( $$\theta $$ θ ) with respect to the vertical symmetry axis. Furthermore, we examine the geodesic deviation for the case of non-constant $$\theta $$ θ during the radial fall. We show that the presence of the deformation parameter affects the behavior of the geodesic deviation vectors, depending on its value. In particular, we observe that for arbitrary values of q and $$\theta $$ θ , the behavior of the deviation vector differs as it approaches the singularity at $$r = 2m$$ r = 2 m . Above all, we can witness either stretching or compression of the deviation vector for various combinations of q and $$\theta $$ θ . These findings provide insight into the effects of quadrupole deformation on the motion of test particles in the vicinity of the central object.

We investigate two general relativistic effects—namely, the Shirokov and Shapiro effects—within the framework of the Zipoy–Voorhees spacetime (q-metric), which generalizes the Schwarzschild solution by incorporating a quadrupole moment. By analyzing the geodesic deviation equations, we explore the oscillatory motion of test particles and demonstrate how the source’s quadrupole parameter influences the Shirokov effect. Furthermore, we derive an expression for the Shapiro time delay in this deformed spacetime and examine the quadrupole moment’s impact on the gravitational time delay experienced by radio waves propagating near a massive object. The first-order approximation reveals a pronounced effect of the quadrupole parameter on the time delay, in contrast to similar recent analyses. These findings deepen our understanding of how deviations from spherical symmetry influence gravitational phenomena, with potential implications for the study of compact astrophysical objects such as neutron stars and naked singularities or “black hole mimickers” that exhibit significant multipolar structures.

In this article, we provide a review of the current state of the research on the nonlinear electrodynamics of vacuum in the presence of strong electromagnetic fields. We discuss the parametrized post-Maxwellian formalism that can be facilitate calculations in the weak electromagnetic field approximation. The post-Maxwellian parameters are a set of parameters used in non-linear electrodynamics to describe the behavior of electromagnetic fields in the presence of strong fields. We also discuss the equations for the electromagnetic field in the Born-Infeld electrodynamics and in non-linear Heisenberg-Euler electrodynamics, as well as the exact solution in the form of a plane elliptically polarized wave. We represent the Lagrangian of nonlinear electrodynamics in vacuum in detail. We demonstrate that the Lagrangian can be expressed as a series of integer powers of invariants J1 and J2, which allows for the identification of nonlinear electrodynamics that are consistent with experiments carried out in a weak electromagnetic field.

One of the most renowned classical experiments that verifies the curved nature of space-time geometry is the bending of light. This phenomenon is extensively discussed in most textbooks on general relativity, with a clear and comprehensive explanation provided. In this study, we employ the material medium approach to determine the refractive index associated with the gravitational field of a compact object with a quadrupole moment. Our research presents a method for calculating the gravitational deflection angle for compact objects by utilizing the refractive index and the GBT theorem for an isotropic metric. This method is particularly important because it allows for the calculation of the deflection angle for both light and relativistic particles. The material medium approach enables us to consider the compact object's gravitational field as a medium with a refractive index. By applying this approach, we establish a relationship between the refractive index and the quadrupole moment of the compact object. We then utilize this relationship to calculate the deflection angle of light and relativistic particles. Одним из самых известных классических экспериментов, подтверждающих искривленную природу геометрии пространства – времени, является искривление света. Обычное объяснение отклонения света простое. Когда присутствует массивный объект, световой луч изгибается под углом, который прямо пропорционален замкнутой массе системы в определенной области, обычно называемой прицельным параметром. Существует новый подход, предлагающий уникальный взгляд на отклонение света в присутствии статического сферически-симметричного гравитационного поля. Этот метод подчеркивает значение топологии траектории световых лучей. Для расчета угла отклонения этот метод использует применение теоремы Гаусса-Бонне. В данной работе мы используем подход материальной среды для определения показателя преломления, связанного с гравитационным полем компактного объекта с квадрупольным моментом. В нашем исследовании представлен метод расчета угла гравитационного отклонения для компактных объектов с использованием показателя преломления и теоремы Гаусса-Бонне для изотропной метрики. Этот метод особенно важен, поскольку позволяет вычислить угол отклонения как для легких, так и для релятивистских частиц. Подход материальной среды позволяет рассматривать гравитационное поле компактного объекта как среду с показателем преломления. Применяя этот подход, мы устанавливаем связь между показателем преломления и квадрупольным моментом компактного объекта. Затем мы используем это соотношение для расчета угла отклонения света и релятивистских частиц. Кеңістік-уақыт геометриясының қисық сипатын растайтын ең әйгілі классикалық тәжірибелердің бірі – жарықтың қисықтығы. Жарықтың ауытқуының әдеттегі түсіндірмесі қарапайым. Массивтік нысан болған кезде, жарық сәулесі әдетте әсер ету параметрі деп аталатын белгілі бір аймақтағы жүйенің жабық массасына тура пропорционал бұрышпен иіледі. Статикалық сфералық симметриялы гравитациялық өріс болған кезде жарықтың ауытқуының бірегей перспективасын ұсынатын жаңа көзқарас бар. Бұл әдіс жарық сәулелерінің траекториясының топологиясының маңыздылығын көрсетеді. Бұл әдіс ауытқу бұрышын есептеу үшін Гаусс-Бонне теоремасын қолдануды пайдаланады. Бұл жұмыста төртполюсті моменті бар ықшам нысанның гравитациялық өрісімен байланысты сыну көрсеткішін анықтау үшін материалдық орта тәсілін қолданамыз. Біздің зерттеуіміз сыну көрсеткішін және изотропты метрика үшін Гаусс-Бонне теоремасын пайдалана отырып, жинақы объектілер үшін гравитациялық ауытқу бұрышын есептеу әдісін ұсынады. Бұл әдіс әсіресе маңызды, себебі ол жеңіл және релятивистік бөлшектер үшін ауытқу бұрышын есептеуге мүмкіндік...